とあるサイトでこんな議論が起きています。「PlayTech系のソフトウェアで裏操作が行われているのではないか、特に○○カジノは怪しい、ここぞとばかりにボッタくられる」。オンラインカジノが出来て以来、何度も何度も繰り返し議論され、落ち着いてはまた湧き出る話題です。これに対してソフトウェアプロバイダ側は一様に「ゲームは毎回乱数を発生させ、その結果に基づいて勝ち負けを決定しているため、操作することは不可能だ」と回答しています。

ここまでの話ならいつもの話で終わるのですが、とあるプレイヤーが「毎月毎月ペイアウト率がほぼ95%で一定している事が逆に怪しい。こんな一定した値を出すには操作無しでは不可能だ。一定していることこそ裏操作の明確な証拠だ」という書き込みがありました。この書き込みを見たとき「なるほど、こういう見方をするプレイヤーもいるのか」と半ば感心してしまいました。果たして本当にそうなのでしょうか？さっそく検証してみましょう。

まずここに簡単なモデルを作ります。確率50%で負け、50%で1.9倍の賞金です。1回あたりの賞金獲得期待値は0.5×0＋0.5×1.9＝0.95で、ペイアウト率は95%です。1回だけプレイした場合、50%の確率でペイアウト率は0%、50%の確率でペイアウト率は190%になります。2回プレイした場合、25%の確率でペイアウト率0%、50%の確率で95%、25%の確率で190%になります。3回の場合なら、ペイアウト率0%は12.5%、126%が37.5%、63%が37.5%、190%が12.5%です。このような数が少ない状態では当然のごとく、設定されたペイアウト率95%から外れる確率は大きくなります。3回の場合にいたっては数値が離散的なので95%になることすらありえません。しかし回数を増やしていったらこのペイアウト率の分布がどうなるでしょうか？

このモデルを一般化すると、確率pで賞金P、確率qで賞金Qが得られる場合、n回プレイしたときに、賞金P獲得がi回となる確率は _nC_ipⁱq^n-iで表すことができます。この時に得られる賞金はP×n＋Q×(n-i)なので、賞金期待値_nC_ipⁱq^n-i×(P×n＋Q×(n-i))の値を縦軸に、横軸に(P×n＋Q×(n-i))/nのペイアウト率をとったグラフを作成してみればその分布を得ることができます。今回の場合はp=q=0.5で、Pは0、Qは1.95です。実際にn=100、1000の場合に計算した結果が下の図です。赤が100回、青が1000回の場合を示しています。 この山の中心は設定されたペイアウト率95%になっています。たった1000回の試行回数ですら、山がかなり鋭くなっています。これはペイアウト率が95%からずれる確率が低いことを示しています。この図から容易に想像できるように、試行回数が増えれば増えるほどこのグラフは鋭く高くなっていき、95%から外れる確率はどんどん小さくなっていきます。

さて、問題は一体毎月どれほどプレイされているかです。具体的な数字は明かされてい�